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SAT数学之方差公式解析

滴答网 http://www.tigtag.com/  2014-12-05  互联网  我要评论(0)  阅读0

滴答网 一、方差的概念与计算公式

例1 两人的5次测验成绩如下:

X: 50,100,100,60,50 E(X )=72;

Y: 73, 70, 75,72,70 E(Y )=72。

平均成绩相同,但X 不稳定,对平均值的偏离大。

方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。

单个偏离是

消除符号影响

方差即偏离平方的均值,记为D(X ):

直接计算公式分离散型和连续型,具体为:

这里 是一个数。推导另一种计算公式

得到:“方差等于平方的均值减去均值的平方”。

其中,分别为离散型和连续型计算公式。 称为标准差或均方差,方差描述波动

二、方差的性质

1.设C为常数,则D(C) = 0(常数无波动);

2. D(CX )=C2 D(X ) (常数平方提取);

证:

特别地 D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )(方差无负值)

3.若X 、Y 相互独立,

证:则前面两项恰为 D(X )和D(Y ),第三项展开后为

当X、Y 相互独立时,

故第三项为零。

特别地

独立前提的逐项求和,可推广到有限项。

方差公式:

平均数:M=(x1+x2+x3+…+xn)/n (n表示这组数据个数,x1、x2、x3……xn表示这组数据具体数值)

方差公式:S?=〈(M-x1)?+(M-x2)?+(M-x3)?+…+(M-xn)?〉╱n

三、常用分布的方差

1.两点分布

2.二项分布

X ~ B ( n, p )

引入随机变量 Xi (第i次试验中A 出现的次数,服从两点分布)

3.泊松分布(推导略)

4.均匀分布

另一计算过程为

5.指数分布(推导略)

6.正态分布(推导略)

7.t分布 :其中X~T(n),E(X)=0;D(X)=n/(n-2);

8.F分布:其中X~F(m,n),E(X)=n/(n-2);

正态分布的后一参数反映它与均值 的偏离程度,即波动程度(随机波动),这与图形的特征是相符的。

例2 求上节例2的方差。

解 根据上节例2给出的分布律,计算得到

工人乙废品数少,波动也小,稳定性好。

方差的定义:

设一组数据x1,x2,x3······xn中,各组数据与它们的平均数x(拔)的差的平方分别是(x1-x拔)?,(x2-x拔)?······(xn-x拔)?,那么我们用他们的平均数s2=1/n【(x1-x拔)?+(x2-x拔)?+·····(xn-x拔)?】来衡量这组数据的波动大小,并把它叫做这组数据的方差。

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